Definition: Spannungszustand in einer ruhenden Flüssigkeit, bei dem nur Normalspannungen (Druck) auftreten und keine Schubspannungen existieren.
Herleitung:
In einer ruhenden Flüssigkeit können aufgrund fehlender Scherfestigkeit keine Schubspannungen existieren. Der Spannungstensor reduziert sich daher auf: \(\sigma_{ij} = -p \delta_{ij}\) wobei \(p\) der hydrostatische Druck und \(\delta_{ij}\) das Kronecker-Delta ist (\(\delta_{ij}=1\) für \(i=j\), sonst \(0\)). Dies führt zu: \(\sigma_{xx} = \sigma_{yy} = \sigma_{zz} = -p\)
\(\tau_{xy} = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0\) Der Druck \(p\) ist in allen Richtungen gleich groß (Pascalsches Prinzip).
2. Druckverteilung in schweren Flüssigkeiten
Herleitung:
Betrachtung eines Flüssigkeitselements mit Höhe \(dz\) und Grundfläche \(dA\). Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung: \(p(z) \cdot dA - [p(z) + dp] \cdot dA - \rho g \cdot dA \cdot dz = 0\) Vereinfacht: \(-dp \cdot dA - \rho g \cdot dA \cdot dz = 0\) \(\frac{dp}{dz} = -\rho g\) Integration ergibt die hydrostatische Druckverteilung: \(p(z) = p_0 - \rho g z\) oder \(p(h) = p_0 + \rho g h\) wobei \(h\) die Tiefe unter der Oberfläche ist.
3. Ebene Wände: resultierende Druckverteilung und Angriffspunkt
Resultierende Kraft:
Für eine ebene Wand der Breite \(b\) und Höhe \(H\) mit linearem Druckverlauf \(p(h) = \rho g h\): \(F_R = \int_0^H p(h) \cdot b \cdot dh = \int_0^H \rho g h \cdot b \cdot dh = \frac{1}{2} \rho g b H^2\)
Angriffspunkt (Druckmittelpunkt):
Momentengleichgewicht um den Fußpunkt:
\(F_R \cdot h_D = \int_0^H p(h) \cdot b \cdot h \cdot dh = \int_0^H \rho g h^2 \cdot b \cdot dh = \frac{1}{3} \rho g b H^3\) Einsetzen von \(F_R\): \(h_D = \frac{\frac{1}{3} \rho g b H^3}{\frac{1}{2} \rho g b H^2} = \frac{2}{3} H\) Der Druckmittelpunkt liegt also bei \(2/3\) der Höhe von der Oberfläche gemessen.
4. Zylindrisch gekrümmte Wände
Resultierende Kraft und Wirkungslinie:
Für eine zylindrisch gekrümmte Wand (z.B. Staudamm) wird die resultierende Kraft aus den horizontalen und vertikalen Komponenten berechnet: \(F_h = \frac{1}{2} \rho g H^2 \cdot b\) (horizontal, wie bei ebener Wand)
\(F_v = \rho g \cdot V\) (vertikal, gleich Gewicht der verdrängten Flüssigkeit) Die Wirkungslinie der Gesamtkraft \(F_R = \sqrt{F_h^2 + F_v^2}\) geht durch den Krümmungsmittelpunkt der Wand.
5. Hydrostatischer Auftrieb
Herleitung (Archimedes-Prinzip):
Betrachtung eines vollständig eingetauchten Körpers:
- Druckunterschied zwischen Ober- und Unterseite: \(p_u - p_o = \rho g h\)
- Vertikale Kräfte: \(F_A = F_{unten} - F_{oben} = (p_u - p_o) \cdot A = \rho g h \cdot A\)
Da \(h \cdot A = V\) das Volumen des Körpers ist: \(F_A = \rho_{Fl} \cdot g \cdot V_{verdrängt}\) Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit und greift im Volumenschwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit an.