Aufstellung der Bewegungsgleichungen mit beliebiger Methode
Berechnung der Eigenfrequenzen und Eigenvektoren
Berechnung der harmonisch erzwungenen Schwingungen
1. Definition
Ein Zweimassenschwinger besteht aus zwei Massen m₁ und m₂, die über Federn k₁, k₂ (und ggf. k₃) verbunden sind. Ziel ist die Bestimmung der Bewegung der beiden Massen x₁(t) und x₂(t).
2. Bewegungsgleichungen
Die Bewegungsgleichungen können durch verschiedene Methoden aufgestellt werden: Newton, Lagrange oder Energieansatz. Vorteil des Lagrange-Ansatzes: systematische Herleitung über T = kinetische Energie, V = potentielle Energie, unabhängig von der Richtung der Kräfte.
Für zwei Massen ohne Dämpfung ergibt sich das System:
m₁ ẍ₁ + k₁ x₁ + k₂ (x₁ - x₂) = F₁(t)
m₂ ẍ₂ + k₂ (x₂ - x₁) + k₃ x₂ = F₂(t)
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3. Berechnung der Eigenfrequenzen und Eigenvektoren
Aufstellung der homogenen Gleichung: F₁ = F₂ = 0
M ẍ + K x = 0
mit M = Massmatrix, K = Steifigkeitsmatrix, x = (x₁, x₂)T
Ansatz: x(t) = X sin(ω t) oder cos(ω t) ⇒ Eigenwertproblem:
(K - ω² M) X = 0
Die Eigenfrequenzen ω₁, ω₂ erhält man aus det(K - ω² M) = 0
Die Eigenvektoren X₁, X₂ beschreiben die **relativen Bewegungen der beiden Massen**.
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4. Harmonisch erzwungene Schwingungen
Für Anregung F(t) = F₀ sin(ω t) oder cos(ω t) gilt:
M ẍ + K x = F₀ sin(ω t)
Ansatz für stationäre Lösung: x(t) = X sin(ω t)
⇒ (K - ω² M) X = F₀
X = (K - ω² M)-1 F₀
Damit erhält man die **Amplitude und Phase** der harmonischen Schwingung für jede Masse.
| Größe | Formel / Beschreibung |
|---|---|
| Bewegungsgleichung 1 | m₁ ẍ₁ + k₁ x₁ + k₂ (x₁ - x₂) = F₁(t) |
| Bewegungsgleichung 2 | m₂ ẍ₂ + k₂ (x₂ - x₁) + k₃ x₂ = F₂(t) |
| Eigenwertproblem | (K - ω² M) X = 0 |
| Harmonisch erzwungen | (K - ω² M) X = F₀ ⇒ X = (K - ω² M)-1 F₀ |
| Eigenfrequenzen | ω₁, ω₂ aus det(K - ω² M) = 0 |
| Eigenvektoren | X₁, X₂ → relative Bewegungen der Massen |
Warum die Lagrange-Methode gewählt wird:
1. Systematik bei mehreren Freiheitsgraden: Bei einem Zweimassenschwinger gibt es zwei Massen. Mit Newton direkt müsste man jede Kraft einzeln auf jede Masse aufstellen. Der Lagrange-Ansatz liefert automatisch die korrekten Bewegungsgleichungen für alle Freiheitsgrade.
2. Energieperspektive statt Kraftperspektive: Die Methode nutzt die kinetische und potentielle Energie des Systems. Vorteil: keine manuelle Zerlegung der Kräfte nötig, besonders bei gekoppelten Federn oder komplexen Zwangsbedingungen.
3. Einfaches Aufstellen der Massen- und Steifigkeitsmatrix: Aus T und V entstehen automatisch die Massenmatrix M und die Steifigkeitsmatrix K, die für Eigenfrequenzen, Eigenvektoren und harmonische Anregungen benötigt werden.
4. Universell einsetzbar: Die Methode skaliert gut auf Systeme mit beliebig vielen Massen, ist effizient für gekoppelte Schwinger und erlaubt einfache Erweiterungen für Dämpfung oder harmonische Erregung.