1. Definition
Ein Einmassenschwinger ist ein mechanisches System mit einer Masse m, einer linearen Feder mit Federkonstante k und optional einem Dämpfer c. Die Masse kann nur in einer Richtung schwingen. Ziel: Bestimmung der Bewegung x(t).
2. Bewegungsgleichung (Herleitung)
Kraftgleichgewicht:
F_Feder + F_Dämpfer = m a
Ohne Dämpfer:
m ẍ + k x = 0
Mit Dämpfer c:
m ẍ + c ẋ + k x = 0
3. Lösung (ungedämpft)
Ansatz: x(t) = X₀ cos(ω t + φ)
Eigenfrequenz: ω_n = √(k/m)
Allgemeine Lösung: x(t) = X₀ cos(ω_n t) + V₀/ω_n sin(ω_n t)
4. Lösung mit Dämpfung (unterkritisch, c < 2√km)
Dämpfungsfaktor: ζ = c / (2 √(k m))
Gedämpfte Eigenfrequenz: ω_d = ω_n √(1 - ζ²)
Lösung: x(t) = X₀ e^(-ζ ω_n t) cos(ω_d t + φ)
5. Energiebetrachtung
Kinetische Energie: E_kin = ½ m ẋ²
Potentielle Energie der Feder: E_pot = ½ k x²
Gesamtenergie (ungedämpft): E_ges = E_kin + E_pot = konstant
6. Beispielaufgabe
Gegeben:
Masse: m = 2 kg
Feder: k = 50 N/m
Anfangsauslenkung: x₀ = 0,1 m
Anfangsgeschwindigkeit: v₀ = 0
Eigenfrequenz: ω_n = √(k/m) = √(50/2) = 5 rad/s
Lösung: x(t) = x₀ cos(ω_n t) + v₀/ω_n sin(ω_n t) = 0,1 cos(5 t)
Geschwindigkeit: ẋ(t) = -0,1·5 sin(5 t) = -0,5 sin(5 t) m/s
Max. kinetische Energie: E_kin,max = ½ m v_max² = ½·2·0,5² = 0,25 J
Max. potentielle Energie: E_pot,max = ½ k x₀² = ½·50·0,1² = 0,25 J
Gesamtenergie: E_ges = E_kin,max + E_pot,max = 0,5 J
| Größe | Formel / Wert |
|---|---|
| Eigenfrequenz | ω_n = √(k/m) = 5 rad/s |
| Gedämpfte Eigenfrequenz | ω_d = ω_n √(1-ζ²) (falls Dämpfer) |
| Auslenkung x(t) | x(t) = 0,1 cos(5 t) m |
| Geschwindigkeit ẋ(t) | ẋ(t) = -0,5 sin(5 t) m/s |
| Kinetische Energie | E_kin = ½ m ẋ² |
| Potentielle Energie | E_pot = ½ k x² |
| Gesamtenergie | E_ges = E_kin + E_pot = 0,5 J |