Definition:
Die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen sind ein **formales Verfahren**, um die Bewegung mechanischer Systeme zu beschreiben. Sie basieren auf der **Lagrange-Funktion** L = T - V, also kinetische Energie minus potentielle Energie, und erlauben die Herleitung der Bewegungsgleichungen unabhängig von den wirkenden Kräften direkt aus Energiebetrachtungen. Einfach ausgedrückt:
Statt Kräfte (Newton) zu summieren, wird die **Energiebilanz** betrachtet, und aus der Lagrange-Funktion L(T,V) ergeben sich die Bewegungsgleichungen.
Formulierung der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen
Für generalisierte Koordinaten qi (i = 1 … n) gilt:
d/dt ( ∂L / ∂ẋi ) - ∂L / ∂qi = Qi
Erklärung der Terme:
L = T - V : Lagrange-Funktion = kinetische Energie minus potentielle Energie
qi : generalisierte Koordinaten
ẋi : generalisierte Geschwindigkeiten = dqi/dt
Qi : generalisierte Kräfte (nicht-konservative)
Definition und Bestimmung der darin vorkommenden Größen
| Größe | Beschreibung / Formel |
|---|---|
| L (Lagrange-Funktion) | L = T - V |
| T (kinetische Energie) | T = ½ Σ mi vi² oder T = ½ Σ Σ mi,j ẋi Mij ẋj |
| V (potentielle Energie) | V = Σ mi g hi + andere potenzielle Energien |
| qi (generalisierte Koordinaten) | Variablen, die die Konfiguration des Systems beschreiben |
| ẋi (generalisierte Geschwindigkeiten) | Zeitableitung der Koordinaten: ẋi = dqi/dt |
| Qi (generalisierte Kräfte) | Nicht-konservative Kräfte, die auf qi wirken |
Definition und Bestimmung der darin vorkommenden Größen
| Größe | Beschreibung / Formel |
|---|---|
| L (Lagrange-Funktion) | L = T - V |
| T (kinetische Energie) | T = ½ Σ m_i v_i² oder T = ½ Σ Σ m_i,j ẋ_i M_ij ẋ_j |
| V (potentielle Energie) | V = Σ m_i g h_i + andere potenzielle Energien |
| q_i (general. Koordinaten) | Variablen, die die Konfiguration des Systems beschreiben |
| ẋ_i (general. Geschw.) | Zeitableitung der Koordinaten: ẋ_i = dq_i/dt |
| Q_i (general. Kräfte) | Nicht-konservative Kräfte, die auf q_i wirken |