Sie beschreibt die Bewegung eines einzelnen Punktes im Raum, ohne nach den Ursachen (Kräften) zu fragen. Es geht nur um: Wo? Wie schnell? Wie beschleunigt?
1. Im globalen Koordinatensystem (x,y,z)
Hier beschreiben wir die Bewegung mit den vertrauten Achsen – wie auf einem Stadtplan.
Größen und Formeln:
| Größe | Formel | Bedeutung |
|---|---|---|
| Ortsvektor | r⃗ (t) = ( x(t) y(t) z(t) ) | "Wo ist der Punkt zum Zeitpunkt t?" |
| Geschwindigkeit | r⃗˙ = v⃗ = ( ˙x(t) ˙y(t) ˙z(t) ) | "Wie schnell und in welche Richtung bewegt er sich?" |
| Beschleunigung | r⃗˙˙ = a⃗ = ( ˙˙x(t) ˙˙y(t) ˙˙z(t) ) | "Wie ändert sich die Geschwindigkeit?" |
Beispiel – Einfacher Wurf:
Ein Ball wird mit 10 m/s unter 30° geworfen:
Bahnkurven:
x(t) = 10·cos(30°)·t = 8.66·t
y(t) = 10·sin(30°)·t - ½·9.81·t² = 5·t - 4.905·t²
| Zeit t | Ort (x,y) | Geschwindigkeit (vx, vy) | Beschleunigung (ax, ay) |
|---|---|---|---|
| 1 s | (8.66 m, 0.10 m) | (8.66 m/s, 0.19 m/s) | (0 m/s², -9.81 m/s²) |
| 2 s | (17.32 m, -9.62 m) | (8.66 m/s, -14.71 m/s) | (0 m/s², -9.81 m/s²) |
2. In natürlichen Koordinaten (entlang der Bahn)
Hier betrachten wir die Bewegung entlang der tatsächlichen Bahnkurve – wie ein Tachometer und Lenkrad im Auto.
Die drei Richtungen:
Tangential (t)
Zeigt in Bewegungsrichtung
vorwärts/rückwärts Normal (n)
Zeigt zur Bahnkrümmung hin
Lenkrichtung Binormal (b)
Senkrecht zu beiden
seitlich
Die wichtigste Formel:
Beschleunigung in natürlichen Koordinaten:
\(\displaystyle \vec{a} = \underbrace{\dot{v} \cdot \vec{e}_t}_{\text{Tangential}} + \underbrace{\frac{v^2}{\rho} \cdot \vec{e}_n}_{\text{Normal}}\)
| Teil | Bedeutung | Beispiel | Formelzeichen |
|---|---|---|---|
| Tangentialbeschleunigung | Geschwindigkeitsänderung (Gas/Bremse) | Auto beschleunigt auf gerader Straße | \(\dot{v} \cdot \vec{e}_t\) |
| Normalbeschleunigung | Richtungsänderung (Lenken) | Auto in Kurve | \(\displaystyle \frac{v^2}{\rho} \cdot \vec{e}_n\) |
Beispiel – Auto in Kurve
Gegeben:
Auto fährt mit konstant 72 km/h = 20 m/s durch eine Kurve mit Radius ρ = 100 m
Berechnung in einem Block:
1. Geschwindigkeit: \(\vec{v} = 20 \cdot \vec{e}_t \ \text{m/s}\)
Das Auto bewegt sich tangential zur Bahn mit 20 m/s.
2. Tangentialbeschleunigung: \(\dot{v} = 0\)
Da die Geschwindigkeit konstant ist (kein Gas geben, kein Bremsen).
3. Normalbeschleunigung: \(\frac{v^2}{\rho} = \frac{20^2}{100} = 4 \ \text{m/s}^2\)
Diese Zentripetalbeschleunigung hält das Auto in der Kurve.
4. Gesamtbeschleunigung:
\(\vec{a} = \underbrace{0 \cdot \vec{e}_t}_{\text{tangential}} + \underbrace{4 \cdot \vec{e}_n}_{\text{normal}} = 4 \cdot \vec{e}_n \ \text{m/s}^2\)
Die gesamte Beschleunigung zeigt zur Kurvenmitte (in Normalenrichtung).
Physikalische Bedeutung:
4 m/s² nach innen gerichtet – das entspricht etwa 0,4g (da Erdbeschleunigung g ≈ 9,81 m/s²).
Das ist deutlich spürbar: Du wirst in der Kurve zur Seite gedrückt!
🚗
Zum Vergleich:
- Normale Straßenkurve: ca. 2-3 m/s²
- Achterbahn-Kurve: bis zu 5-6 m/s²
- Formel-1-Kurve: bis zu 5g = 49 m/s²
Vergleich der beiden Systeme:
| Aspekt | Globales System | Natürliches System |
|---|---|---|
| Vorteil | Einfache Formeln, gut für Bahngleichungen | Direkt physikalisch interpretierbar |
| Nachteil | Unübersichtlich bei gekrümmten Bahnen | Kenntnis der Bahn nötig |
| Berechnung | Ableiten von x(t), y(t), z(t) | v aus Bahnlänge, ρ aus Krümmung |
| Best für... | Wurfparabeln, vorgegebene Trajektorien | Autofahren, Achterbahn, Kreisbewegung |
Abschluss – Merksatz:
Global: "Ich bin bei (x,y,z) und bewege mich mit (vx,vy,vz)"
Natürlich: "Ich fahre mit Tempo v, beschleunige mit \(\dot{v}\) nach vorne und mit \(\frac{v^2}{\rho}\) zur Kurvenmitte"
Die natürlichen Koordinaten sind wie die Fahrerperspektive – du spürst genau, wann du Gas gibst (\(\dot{v}\)) und wann du lenkst (\(\frac{v^2}{\rho}\))!
Die natürlichen Koordinaten sind wie die Fahrerperspektive – du spürst genau, wann du Gas gibst (v̇) und wann du lenkst (v²/ρ). Am Ende sei noch betont: Neben der tangentialen Wirkung (oft als Tangialkraft bezeichnet) spielt auch die in Kurven auftretende Normalspannung eine entscheidende Rolle, weil beides zusammen bestimmt, wie stark Bauteile, Reifen oder Fahrwerk tatsächlich belastet werden.